Question

已知：△ABC中，AB＜BC，AC的中點為M，MN⊥AC交∠ABC的角平分線于N．
（1）如圖1，若∠ABC=60°，求證：BA+BC=BN；
（2）如圖2，若∠ABC=120°，則BA、BC、BN之間滿足什么關系式，并對你得出的結論給予證明．

Answer 1

（1）證明：連接AN、CN，過點N作NE⊥AB于點E，NF⊥BC于點F，
∵BN是∠ABC的角平分線，
∴NE=NF，
∵AC的中點為M，MN⊥AC，
∴AN=NC，
在Rt△ANE和Rt△CNF中，，
∴Rt△ANE≌Rt△CNF（HL），
∴AE=CF，
∴BA+BC=BE-AE+BF+CF=2BF，
∵∠ABC=60°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=×60°=30°，
∴cos30°===，
∴BA+BC=BN；

（2）連接AN、CN，在BC上截取BE=AB，
∵BN是∠ABC的角平分線，
∴∠ABN=∠EBN，
在△ABN和△ABE中，，
∴△ABN≌△ABE（SAS），
∴NA=NE，
∵AC的中點為M，MN⊥AC，
∴NA=NC，
∴NE=NC，
過點N作NF⊥BC于點F，
則EF=EC=（BC-BA），
∴BF=BE+EF=BA+（BC-BA）=（BC+BA），
∵∠ABC=120°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=×120°=60°，
∴cos60°===，
∴BA+BC=BN．
分析：（1）連接AN、CN，過點N作NE⊥AB于點E，NF⊥BC于點F，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AN=NC，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得NE=NF，然后利用“HL”證明Rt△ANE和Rt△CNF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CF，然后求出BA+BC=2BF，在Rt△BNF中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得證；
（2）連接AN、CN，在BC上截取BE=AB，然后利用“邊角邊”證明△ABN和△ABE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得NA=NE，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得NA=NC，從而得到NE=NC，過點N作NF⊥BC于點F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EF=EC，然后表示出BF，在Rt△BFN中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得解．
點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．