Question

4．已知，點B是半徑OA的中點，過點B作BC⊥OA交⊙O于點C．
（1）如圖①，若BC=$\sqrt{3}$，求⊙O的直徑；
（2）如圖②，點D是$\widehat{AC}$上一點，求∠ADC的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）在⊙O上取一點E，連接AC，CE，連接OC，解直角三角形求出∠AOC，根據(jù)圓周角定理求出∠E，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出即可．

解答 解：（1）
連接OC，
設(shè)OA=OC=R，則OB=AB=$\frac{1}{2}$R，
∵BC⊥OA，
∴∠CBO=90°，
由勾股定理得：OC²=BC²+OB²，
即R²=（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{1}{2}$R）²，
解得：R=2，
即⊙O的直徑是4；

（2）在⊙O上取一點E，連接AC，CE，連接OC，
由（1）可知：sin∠BOC=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOC=60°，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∵A、E、C、D四點共圓，
∴∠ADC+∠E=180°，
∴∠ADC=150°．

點評 本題考查了圓周角定理，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形等知識點，能正確做出輔助線是解此題的關(guān)鍵．