Question

如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B（2，0），∠AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A的雙曲線為．在x軸上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O´B´．

（1）當(dāng)點(diǎn)O´與點(diǎn)A重合時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）設(shè)P（t，0），當(dāng)O´B´與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是多少？

Answer 1

解：（1）當(dāng)點(diǎn)O´與點(diǎn)A重合時(shí)

∵∠AOB=60°，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O´B´．

AP′=OP′，

∴△AOP′是等邊三角形，

∵B（2，0），

∴BO=BP′=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0），

故答案為：（4，0）………………………4分

（2）解：∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，

∴∠MP′O=30°，

∴OM=t，OO′=t，

過O′作O′N⊥X軸于N，

∠OO′N=30°，

∴ON=t，NO′=t，

∴O′（t，t），

同法可求B′的坐標(biāo)是（，t﹣2），

設(shè)直線O′B′的解析式是y=kx+b，代入得；，

解得：，

∴y=（）x﹣t²+t，………………………1分

∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，

∴OA=4，AB=2，

∴A（2，2），代入反比例函數(shù)的解析式得：k=4，………………………1分

∴y=，代入上式整理得：（2t﹣8）x²+（﹣t²+6t）x﹣4=0，

b²﹣4ac=﹣4（2t﹣8）•（﹣4）≥0，

解得：t≤2t≥﹣2，………………………2分

∵當(dāng)點(diǎn)O´與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0）

∴4≤t≤2或﹣2≤t≤4，………………………2分

故答案為：4≤t≤2或﹣2≤t≤4．