Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)O，OC=1，以點(diǎn)O為圓心OC為半徑作半圓．
（1）求證：AB為⊙O的切線(xiàn)；
（2）如果tan∠CAO=$\frac{1}{3}$，求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）如圖作OM⊥AB于M，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理，可以證明OM=OC，由此即可證明．
（2）設(shè)BM=x，OB=y，列方程組即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖作OM⊥AB于M，
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC=OM，
∴AB是⊙O的切線(xiàn)，
（2）設(shè)BM=x，OB=y，則y²-x²=1    ①，
∵cosB=$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{y+1}{x+3}$，
∴x²+3x=y²+y    ②，
由①②可以得到：y=3x-1，
∴（3x-1）²-x²=1，
∴x=$\frac{3}{4}$，y=$\frac{5}{4}$，
∴cosB=$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線(xiàn)的判定、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，這條直線(xiàn)就是圓的切線(xiàn)，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)列方程組解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．