Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA垂直y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5，PB⊥PO，交x軸于點(diǎn)B．
（1）試說(shuō)明PO²=PA•OB；
（2）點(diǎn)M為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，若有△AOM與△POB相似，求M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由條件證明△PAO∽△0PB，再利用相似三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）由（1）結(jié)論可先求得PO，在Rt△PAO中求得AO，在Rt△POB中可求得PB，設(shè)M坐標(biāo)為（x，0），可表示出MO，當(dāng)△AOM與△POB相似分兩種情況討論，分別得到關(guān)于x的方程，解得x即可．

解答：解：（1）∵PA⊥y軸，
∴PA∥x軸，
∴∠APO=∠POB，
∵BP⊥PO，
∴∠PAO=∠OPB，
∴△PAO∽△OPB，
∴

PA

PO

=

PO

OB

，
∴PO²=PA•OB；
（2）∵P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5，
∴PA=1，OB=5，
∴PO²=1×5=5，
∴PO=

5

，
在Rt△PAO中，由勾股定理可得AO=2，
在Rt△PBO中，由勾股定理可得PB=2

5

，
設(shè)M坐標(biāo)為（x，0），則OM=|x|，
∵∠OPB=∠AOM=90°，
∴當(dāng)△AOM與△POB相似時(shí)有兩種情況，
①當(dāng)△AOM∽△OPB時(shí)，則

AO

OP

=

OM

PB

，即

2

5

=

|x|

2 5

，解得x=±4，此時(shí)M坐標(biāo)為（-4，0）或（4，0）；
②當(dāng)△AOM∽△BPO時(shí)，則

AO

BP

=

OM

PO

，即

2

2 5

=

|x|

5

，解得x=±1，此時(shí)M坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）；
綜上可知點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4，0）或（4，0）或（-1，0）或（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理、點(diǎn)的坐標(biāo)的意義等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意分情況討論和方程思想的應(yīng)用．設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段的長(zhǎng)度，利用線段的關(guān)系得到關(guān)于x的方程是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般思路．本題難度適中，考查基礎(chǔ)知識(shí)．