Question

某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x．
（1）求本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
（2）為使本年度的利潤(rùn)比上一年有所增加，投入成本增加的比例應(yīng)在什么范圍？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)若每輛車投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x和年利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．建立利潤(rùn)模型，要注意定義域．
（2）要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，只需今年的利潤(rùn)減去的利潤(rùn)大于零即可，解不等式可求得結(jié)果，要注意比例的范圍．

解答：解：（1）由題意得
y=[1.2×（1+0.75x）-1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1），
整理得y=-60x²+20x+200（0＜x＜1）．

（2）要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，
當(dāng)且僅當(dāng)

y-(1.2-1)×1000＞0  0＜x＜1.

，
即

-60x2+20x＞0  0＜x＜1.

，
解不等式得 0＜x＜

1

3

．
答：為保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應(yīng)滿足 0＜x＜

1

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及建立函數(shù)關(guān)系、不等式的性質(zhì)和解法等內(nèi)容，培養(yǎng)同學(xué)們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．