Question

請閱讀下列材料：
問題：如圖①，將菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得點A，B，E在同一條直線上，點G在BC邊上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若∠ABC=120°，試探究PG與PC的位置關(guān)系及∠PCG的大小．小明同學(xué)的思路是：延長GP交DC于點H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．請你參考小明的思路，探究并解決下列問題：
（1）直接寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及∠PCG的大��；
（2）將圖①中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點E恰好落在CB的延長線上，原問題中的其他條件不變（如圖②）．你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否仍成立？寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長GP交DC于點H，構(gòu)造全等三角形，從而得出DH=GF，PH=PG，進(jìn)而得出△GCH是等腰三角形，得出PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，由∠ABC=120°，得出∠BCD=60°，即可證得∠PCG=30°；
（2）延長GP交AD于點H，先證得△DPH≌△FPG，從而得出PH=PG，DH=FG=BG，進(jìn)進(jìn)而證得△CDH≌△CBG，得出CH=CG，∠DCH=∠BCG，即可證得CP⊥PG，由∠HCG=∠HCB+∠BCG=∠HCB+∠DCH=∠DCB=60°，證得∠PCG=

1

2

∠HCG=30°．

解答：解：（1）PG⊥PC，∠PCG=30°；
如圖①，延長GP交DC于點H，
∵在菱形ABCD和菱形BEFG中，AE∥DC，AE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，
在△PDH和△PFG中，

∠PDH=∠PFG PD=PF ∠DPH=∠FPG

，
∴△PDH≌△PFG（ASA），
∴DH=GF，PH=PG，
∵BG=GF，
∴DH=BG，
∵DC=BC，
∴HC=GC，
∴△GCH是等腰三角形，
∴PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴∠PCG=30°；

（2）（1）中兩個結(jié)論仍成立；　　　　　
證明：如圖②，延長GP交AD于點H，連接CG，
∵四邊形ABCD和BEFG是菱形
∴AD∥BC，BE∥FG，
∵E在CB的延長線上
∴AD∥FG，
∴∠HDP=∠GFP，
在△DPH和△FPG中，

∠HDP=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∴△DPH≌△FPG（ASA），
∴PH=PG，DH=FG=BG，
在△CDH和△CBG中，

DH=BG ∠HDC=∠CBG=120° DC=BC

，
∴△CDH≌△CBG（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴CP⊥PG，
∵∠HCG=∠HCB+∠BCG=∠HCB+∠DCH=∠DCB=60°，
∴∠PCG=

1

2

∠HCG=30°．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵．