Question

12．如圖，在矩形ABCD中，若延長AD至點E，延長CB至點F，并使得DE=BF，連接AF、CE及DF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若DE=3，CD=4，AD=5，求證：DF平分∠AFC．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)矩形的性質(zhì)可知AD∥BC，且AD=BC，然后再證明AE=FC即可；
（2）依據(jù)勾股定理可求得CE=5，由矩形的性質(zhì)可求得AF的長，于是得到AF=AD，然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解答 證明：（1）∵ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵DE=BF，
∴AD+DE=BC+FB，即AE=FC．
又∵AE∥FC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
（2）∵ABCD為矩形，
∴∠CDE=90°．
∴CE=$\sqrt{D{C}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=CE=5．
又∵AD=5，
∴AD=AF．
∴∠AFD=∠ADF．
∵AD∥FC，
∴∠ADF=∠DFC．
∴∠AFD=∠DFC．
∴FD平分∠AFC．

點評 本題主要考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．