Question

11．若直線l₁：y=k₁x+b₁與l₂：y=k₂x+b₂的交點在直線l上，則把直線l叫做l₁、l₂的“軌線”．
（1）求l₁：y=-x+3m-1與l₂：y=x+m-1的“軌線”l的解析式；
（2）若l₁：y=2x+b₁與l₂：y=-2x+b₂的交點在y=x+2上，且l₁、l₂的“軌線”為y=-x，求l₁、l₂的解析式．
（3）若l₁：y=k₁x+b₁與l₂：y=k₂x+b₂分別滿足k₁+b₁=0，3k₂+b₂=2．
①求證：l₁、l₂分別經過兩個定點A、B；
②若l₁、l₂的交點為C，且S_△ABC=2，求l₁、l₂的“軌線”的解析式．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3m-1}\\{y=x+m-1}\end{array}\right.$，消去m可得y=2x-1，根據(jù)“軌線”的定義可知，l₁：y=-x+3m-1與l₂：y=x+m-1的“軌線”l的解析式為y=2x-1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，由題意點（-1，1）在l₁：y=2x+b₁與l₂：y=-2x+b₂上，可得b₁=3，b₂=-1；
（3）①只要證明A（1，0），B（3，2）分別在直線l₁、l₂上即可；
②如圖，A（1，0），B（3，2），作BH⊥x軸于H，HM⊥AB于M．易知AB=2$\sqrt{2}$，HM=$\sqrt{2}$，推出S_△HAB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，所以點C在過點H平行AB的直線l上，由直線AB的解析式為y=x-1，所以直線l的解析式為y=x-3，根據(jù)對稱軸可知，當點C在直線l關于直線AB的對稱的直線l′上時，也滿足條件；

解答 （1）解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3m-1}\\{y=x+m-1}\end{array}\right.$，消去m可得y=2x-1，
根據(jù)“軌線”的定義可知，l₁：y=-x+3m-1與l₂：y=x+m-1的“軌線”l的解析式為y=2x-1．

（2）解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
由題意點（-1，1）在l₁：y=2x+b₁與l₂：y=-2x+b₂上，
∴b₁=3，b₂=-1．
∴l(xiāng)₁：y=2x+3與l₂：y=-2x-1．

（3）①證明：∵若l₁：y=k₁x+b₁與l₂：y=k₂x+b₂分別滿足k₁+b₁=0，3k₂+b₂=2．
∴直線l₁：y=k₁x+b₁與l₂：y=k₂x+b₂分經過點A（1，0），B（3，2），
∴l(xiāng)₁、l₂分別經過兩個定點A、B．

②如圖，A（1，0），B（3，2），作BH⊥x軸于H，HM⊥AB于M．

易知AB=2$\sqrt{2}$，HM=$\sqrt{2}$，
∴S_△HAB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴點C在過點H平行AB的直線l上，
∵直線AB的解析式為y=x-1，
∴直線l的解析式為y=x-3，
根據(jù)對稱軸可知，當點C在直線l關于直線AB的對稱的直線l′上時，也滿足條件，
易知直線l′的解析式為y=x+1．
∴l(xiāng)₁、l₂的“軌線”的解析式為y=x-3或y=x+1．

點評 本題考查一次函數(shù)的應用、一元一次方程組的應用、兩直線平行的判定和性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為方程組解決，屬于中考創(chuàng)新題目．