Question

5．如圖所示，已知點A、B、C、D都在同一個圓上，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠ADC=120°，四邊形ABCD的周長為20．
（1）求證：BC為圓的直徑；
（2）求此圓的半徑；
（3）求圖中陰部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，得到∠ACD=∠ACB=∠DAC=30°，∠B=60°，于是有AB=AD=DC，且∠BAC=90°，得到BC為直徑；
（2）設圓心為O，AB=x，首先證明△AOB為等邊三角形，則BC=2AB=2x，然后利用四邊形ABCD的周長為20cm，可求出半徑；
（3）S_陰影部分=S_扇形OAD-S_△OAD，利用扇形的面積公式：S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360°}$和等邊三角形的面積分別計算它們的面積即可．

解答 解：（1）∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACD=∠ACB=∠DAC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BAC=90°，
∴BC為直徑；

（2）設圓心為O，連OA，OD，AB=x，
∵∠B=60°，OA=OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴BO=AO=AB=x，
∴BC=2BO=2x，
又∵四邊形ABCD的周長為20cm，
∴x+x+x+2x=20，解得x=4，即⊙O的半徑為4cm；

（3）∴S_陰影部分=S_扇形OAD-S_△OAD
=$\frac{60°{πr}^{2}}{360°}$-$\frac{1}{2}$×AD×DO×sin60°
=$\frac{π{•4}^{2}}{6}$-$\frac{1}{2}$×4²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{8}{3}π-4\sqrt{3}$（cm²）．

點評 本題主要考查了扇形的面積公式和圓周角定理及其推論以及等邊三角形的面積，求得圓的半徑是解答此題的關鍵．