Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC=8，cosB=

5

8

，D是邊BC的中點，點E、F分在邊AB、AC上，且∠EDF=∠B，連接EF．
（1）如果BE=4，求CF的長；
（2）如果EF∥BC，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接AD，∵AB=AC，D是邊BC的中點，得出AD⊥BC，根據(jù)三角函數(shù)求出BD=CD=5再證明△BDE∽△CFD得出CF的長，
（2）先證明△BDE∽△DFE，根據(jù)題目的已知條件和平行線的性質(zhì)求EF的長．

解答：解：（1）連接AD．
∵AB=AC=8，D是邊BC的中點，
∴AD⊥BC．（1分）
在Rt△ABD中，cosB=

BD

AB

=

5

8

，
∴BD=CD=5．（1分）
∵∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF，∠EDF=∠B，
∴∠BED=∠CDF．（1分）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴△BDE∽△CFD．
∴

BE

CD

=

BD

CF

．（1分）
∵BE=4，
∴CF=

25

4

．（1分）

（2）∵△BDE∽△CFD，
∴

BE

CD

=

DE

FD

．（1分）
∵BD=CD，
∴

BE

DE

=

BD

FD

．（1分）
∵∠EDF=∠B，
∴△BDE∽△DFE．
∴∠BED=∠DEF．（1分）
∵EF∥BC，
∴∠BDE=∠DEF．（1分）
∴∠BDE=∠BED．
∴BE=BD=5．（1分）
于是，由AB=8，得AE=3，
∵EF∥BC，
∴

AE

AB

=

EF

BC

．（1分）
∵BC=10，
∴

3

8

=

EF

10

．
即得EF=

15

4

．（1分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．題目涉及的知識面多，可利用數(shù)形結合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算邊的長度．