Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q。
（1）求四邊形AQMP的周長；
（2）寫出圖中的兩對(duì)相似三角形（不需證明）；
（3）M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC， ∴四邊形APMQ是平行四邊形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠PMC=∠QMB ∴BQ=QM，PM=PC ∴四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a； （2）∵PM∥AB， ∴△PCM∽△ACB， ∵QM∥AC， ∴△BMQ∽△BCA； （3）當(dāng)點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APMQ是菱形， ∵AB∥MP，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)， ∴， ∴P是AC的中點(diǎn)， ∴PM是三角形ABC的中位線，同理：QM是三角形ABC的中位線 ∵AB=AC， ∴QM=PM=AB=AC， 又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形， ∴平行四邊形APMQ是菱形。