Question

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處。

（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最�。咳绻�存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）E（3，1）；F（1，2）；
（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，所以EF=， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，n），其中n＞0， 因?yàn)轫旤c(diǎn)F（1，2）， 所以設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+2（a≠0）， ①如圖1，當(dāng)EF=PF時(shí)，EF2=PF2， 所以12+（n-2）2=5，解得n1=0（舍去），n2=4， 所以P（0，4）， 所以4=a（0-1）2+2，解得a=2， 所以拋物線的解析式為y=2（x-1）2+2； ②如圖2，當(dāng)EP=FP時(shí)，EP2=FP2， 所以（2-n）2+1=（1-n）2+9，解得n=-（舍去）； ③當(dāng)EF=EP時(shí)，EP=＜3，這種情況不存在。 綜上所述，符合條件的拋物線為y=2（x-1）2+2。
（3）存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小。 如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′， 連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N， 則點(diǎn)M、N就是所求， 所以E′（3，-1）、F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′， 所以BF′=4，BE′=3， 所以FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5， 又因?yàn)镋F=， 所以FN+MN+ME+EF=5+， 此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值為5+。