Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c過點（0，-3）和（-1，2m-2）對于該二次函數(shù)有如下說法：
①它的圖象與x軸有兩個公共點；
②若存在一個正數(shù)x₀，使得當(dāng)x＜x₀時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，則m＞0；若存在一個負(fù)數(shù)x₀，使得當(dāng)x＞x₀時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，則m＜0；
③若將它的圖象向左平移3個單位后過原點，則m=-1；
④若當(dāng)x=2時的函數(shù)值與x=2012時的函數(shù)值相等，則當(dāng)x=20時的函數(shù)值為-3．
其中正確的說法的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：把已知點的坐標(biāo)代入可得y=x²-2mx-3，可利用方程x²-2mx-3=0的判別式判斷①；可求得其對稱軸為x=m，結(jié)合二次函數(shù)的增減性可判斷②；根據(jù)左加右減的原則，可求得平移后的解析式，可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，可求得對稱軸，可求得m的值，再把x=20代入，可求得對應(yīng)函數(shù)值，可判斷④；可得出答案．

解答：解：
∵二次函數(shù)y=x²+bx+c過點（0，-3）和（-1，2m-2）
∴代入可求得c=-3，b=-2m，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²-2mx-3，
令y=0可得x²-2mx-3=0，則其判別式△=4m²+12＞0，故二次函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點，
∴①正確；
∴二次函數(shù)的對稱軸為x=m，且二次函數(shù)圖象開口向上，
∴若存在一個正數(shù)x₀，使得當(dāng)x＜x₀時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，則m＞0；若存在一個負(fù)數(shù)x₀，使得當(dāng)x＞x₀時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，則m＜0，
∴②正確；
由平移可得向左平移3個單位后其函數(shù)解析式為y=（x+3）²-2m（x+3）-3，把點（0，0）代入可得m=1，
∴③不正確；
由當(dāng)x=2時的函數(shù)值與x=2012時的函數(shù)值相等，代入可求得m=1007，
∴函數(shù)解析式為y=x²-2014x-3，
當(dāng)x=20時，代入可得y=400-4028-3≠-3，
∴④不正確；
綜上可知正確的有兩個，
故選B．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的對稱軸、增減性及圖象的平移是解題的關(guān)鍵．注意與一元二次方程的關(guān)系．