Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦AC平分∠BAM且CD⊥AM于D，點I是△ABC的內心，連接CI并延長交⊙O于E，連接AE．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：AE=DE；
（3）若AD=

32

5

，AC=8，求AB和CE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結OC，如圖1，由AC平分∠BAM得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥AD，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到CD是⊙O的切線；
（2）連結AI、CB，如圖2，由三角形內心的定義得到∠CAI=∠BAI，∠ACE=∠BCE，再利用三角形外角性質得∠AIE=∠ACB+∠CAI=∠BCE+∠BAI，而∠BCE=∠BAE，所以∠AIE=∠BAE+∠BAI，即∠AIE=∠EAI，于是根據(jù)等腰三角形的判定得AE=IE；
（3）作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N，如圖3，根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ACB=90°，加上DAC=∠CAB，則可判斷Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比可計算出AB=10，再利用勾股定理計算出BC=6，接著證明Rt△AEM≌Rt△BEN得到AM=BN，再利用四邊形CMEN為正方形得CM=CN，所以CM=AC-AM=AC-BN=AC-（CN-BC），于是可計算出CM=

1

2

（AC+BC）=

1

2

×（6+8）=7，然后利用CE=

2

CM進行計算．

解答：（1）證明：連結OC，如圖1，
∵AC平分∠BAM，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥AD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）證明：連結AI、CB，如圖2，
∵點I是△ABC的內心，
∴AI平分∠BAC，EI平分∠ACB，
∴∠CAI=∠BAI，∠ACE=∠BCE，
∴∠AIE=∠ACB+∠CAI=∠BCE+∠BAI，
而∠BCE=∠BAE，
∴∠AIE=∠BAE+∠BAI，
即∠AIE=∠EAI，
∴AE=IE；
（3）解：作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N，如圖3，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

32 5

8

=

8

AB

，解得AB=10，
在Rt△ACB中，∵AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴EM=EN，

AE

=

BE

，
∴AE=BE，
在Rt△AEM和Rt△BEN中，

EM=EN EA=EB

，
∴Rt△AEM≌Rt△BEN，
∴AM=BN，
∵四邊形CMEN為正方形，
∴CM=CN，
∴CM=AC-AM=AC-BN=AC-（CN-BC），
∴CM=

1

2

（AC+BC）=

1

2

×（6+8）=7，
∴CE=

2

CM=7

2

．
即AB和CE的長分別為10，7

2

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質．