Question

如圖，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A（3，0），B（3，4），動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B出發(fā)，都以每秒1個單位的速度運(yùn)動，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動。過點(diǎn)N作NP∥OC，交AC于點(diǎn)P，連結(jié)MP，已知動點(diǎn)運(yùn)動了x秒，△MPA的面積為S。
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)。（用含x的代數(shù)式表示）
（2）寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。
（3）當(dāng)△APM與△ACO相似時，點(diǎn)P的位置有幾種情況？選擇一種，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（4）△PMA能否成為軸對稱圖形？如能，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；如不能，說明理由。

Answer 1

解： （1）延長NP交x軸于點(diǎn)D。DA=x，OD=3-x， ∴△PDA∽△COA，
∴PD=x  ∴P（3-x，x）
（2）S=（3-x）·x=-x²+2x
∴由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可求頂點(diǎn)(，)   ∴當(dāng)x=，S_最大值=
（3）有三種情況
當(dāng)△APM∽△ACO時，3-x=x，∴x=，∴p(，2)
（4）當(dāng)PA=PM時, 3-x-x=x, ∴x=1 ∴P（2, )
當(dāng)PA=AM時，PA=x，∴3-x=x，∴x=，∴P（，）
當(dāng)PM=AM時，PM²=（3-2x）²+（x）²
∴（3-2x）²+（x）²=（3-2x）²
∴x=0或x=，∴P（3，0）或P（，）
∴P₁（2, )，P₂（，），P₃（3，0），P₄（，）