Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點O作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙O于點P，過點P作PE⊥AC于點E，作射線DE交BC的延長線于F點，連接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長；（結果保留π）
（2）求證：OD=OE；
（3）求證：PF是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定,弧長的計算

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)弧長計算公式l=

nπr

180

進行計算即可；
（2）證明△POE≌△ADO可得DO=EO；
（3）連接AP，PC，證出PC為EF的中垂線，再利用△CEP∽△CAP找出角的關系求解．

解答：（1）解：∵AC=12，
∴CO=6，
∴

PC

=

60•π•6

180

=2π；
答：劣弧PC的長為：2π．

（2）證明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，

∠ADO=∠PEO ∠AOD=∠POE OA=OP

，
∴△POE≌△AOD（AAS），
∴OD=EO；

（3）證明：如圖，連接AP，PC，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直徑，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC為EF的中垂線，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切線．

點評：本題主要考查了切線的判定，解題的關鍵是適當?shù)淖鞒鲚o助線，準確的找出角的關系．