Question

如圖，D為等邊三角形ABC的邊BC上的一點，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接BE．
（1）求證：BE=CD；
（2）分別取BE、CD的中點M、N，連接AM、AN、MN，試判斷△AMN的形狀，并給出證明．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，
∴AC=AB，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAE=∠DAC∴△AEB≌△ACD．
∴BE=CD．

（2）△AMN是等邊三角形．
證明：∵∠C=∠ABE，
∵M，N是BE，CD的中點，
∴BM=CN．
而AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN．
而∠BAC=∠BAN+∠NAC=60°，
∴∠BAN+∠BAM=60°=∠MAN．
∴△AMN是等邊三角形．