Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1，且與x軸有兩個不同的交點，其中一個交點坐標為（-1，0）。
（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在拋物線上有一點A，其橫坐標為-2，直線l過點A并繞著點A旋轉(zhuǎn)，與拋物線的另一個交點是點B，點B的橫坐標滿足-2＜x_B＜，當△AOB的面積最大時，求出此時直線l的關(guān)系式；
（3）拋物線上是否存在點C使△AOC的面積與（2）中△AOB的最大面積相等，若存在，求出點C的橫坐標；若不存在說明理由。

Answer 1

解：（1）二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對稱軸是直線x=1，且過點A（-1，0）， 代入得：-=1，1-b+c=0， 解得：b=-2，c=-3， 所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=x2-2x-3；
（2）拋物線與y軸交點B的坐標為（0，-）， 設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m， ∴， ∴， ∴直線AB的解析式為y=x-， ∵P為線段AB上的一個動點， ∴P點坐標為（x，），（0＜x＜3） 由題意可知PE∥y軸， ∴E點坐標為（x，）， ∵0＜x＜3， ∴PE=（）-（）=-；
（3）由題意可知D點橫坐標為x=1，又D點在直線AB上， ∴D點坐標（1，-1）， ①當∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP， ∴， 過點D作DQ⊥PE于Q， ∴xQ=xP=x，yQ=-1， ∴△DQP∽△AOB∽△EDP， ∴， 又OA=3，OB=，AB=， 又DQ=x-1， ∴DP=（x-1）， ∴， 解得：x=-1±（負值舍去）， ∴P（-1，）（如圖中的P1點）； ②當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP， ∴， 由（2）PE=-，DE=x-1， ∴， 解得：x=1±，（負值舍去）， ∴P（1+，-1）（如圖中的P2點）； 綜上所述，P點坐標為（-1，）或（1+，）。