Question

如圖，在?ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于點(diǎn)E．
（1）若∠ADB=15°，求∠BAE的度數(shù)；
（2）求證：AB=2OE．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DBC=∠ADB，然后求出∠ABD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出∠BAE；
（2）取AB的中點(diǎn)F，連接EF、OF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=BF=

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AB，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABD=∠BEF，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DBC=∠EOF，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠EFO=∠EOF，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EF=OE，從而得證．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=15°，
∵∠ABD=2∠DBC，
∴∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-30°=60°；

（2）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF、OF，
∵AE⊥BD，
∴EF=BF=

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AB，
∴∠ABD=∠BEF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF∥BC，
∴∠DBC=∠EOF，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠BEF=∠EFO+∠EOF，
又∵∠ABD=2∠DBC，
∴∠EFO=∠EOF，
∴EF=OE，
∴OE=

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AB，
∴AB=2OE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分．