Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=OB，點(diǎn)C在圓上，∠CAB=30°．
（1）求證：DC是⊙O的切線． 
（2）若BD=1cm，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC、BC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則可計(jì)算出∠COB=60°，于是可判斷△OBC 是等邊三角形，則∠OCB=∠OBC=60°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠BCD=30°，從而得到∠OCD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到結(jié)論；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)得OB=BD=BC=1，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出AC．

解答 （1）證明：連接OC、BC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠OCA=60°，
∵OC=OB，
∴△OBC 是等邊三角形，
∴∠OCB=∠OBC=60°，
又∵BD=OB，
∴∠BDC=∠BCD，
而∠OBC=∠BDC+∠BCD，
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切線；
（2）解：OB=BD=BC=1，
在Rt△ABC中，∴∠A=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．