Question

7．如圖，在矩形ABCD中，E在BA延長線上，連接DE，F(xiàn)在DE上，連接AF、FC，且BE=BD．
（1）如果AB=4，∠ADB=30°，求DE的長；
（2）如果EF=AF，求證：AF⊥CF．

Answer 1

分析 （1）首先由含30°銳角的直角三角形的性質可求出BD的長，再證明三角形△BDE是等邊三角形，進而可得DE=BD=8；
（2）連接BF，利用矩形的性質和已知條件可證明△FDC≌△FAB，所以∠5=∠7，再證明∠7+∠6=90°，繼而可得：AF⊥CF．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵∠ADB=30°，AB=4，
∴DB=2AB=8，∠DBA=60°，
∵BE=BD，
∴△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD=8；
（2）連接BF．
∵矩形ABCD，∠DAE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
又∵EF=FA，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴DF=FA，
∵∠ADC=∠EAD=90°，
∴∠FDC=∠FAB
∵矩形ABCD中，AB=CD，
在△FDC和△FAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=FA}\\{∠FDC=∠FAC}\\{DC=AB}\end{array}\right.$
∴△FDC≌△FAB，
∴∠5=∠7，
∵BE=BD，DF=EF，
∴BF⊥DE，
∴∠5+∠6=90°
∴∠7+∠6=90°，
∴AF⊥CF．

點評 該題以矩形為載體，以全等三角形的判定及其性質、直角三角形斜邊上的中線等幾何知識點為核心構造而成；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用全等三角形的判定及其性質、直角三角形斜邊上的中線等幾何知識來分析、判斷、解答．