Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長是2．O為坐標(biāo)原點，點A在x的正半軸上，點C在y的正半軸上．一條拋物線經(jīng)過A點，頂點D是OC的中點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）正方形OABC的對角線OB與拋物線交于E點，線段FG過點E與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于F，G點，試比較線段OE與EG的長度；

（3）點H是拋物線上在正方形內(nèi)部的任意一點，線段IJ過點H與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于I、J點，點K在y軸的正半軸上，且OK=OH，請證明△OHI≌△JKC．

 

Answer 1

 

（1）

（2）OE=EG

（3）證明略

解析:解：(1)由題意，設(shè)拋物線的解析式為:.…………1分

將點D的坐標(biāo)(0,1),點A的坐標(biāo)(2,0)代入,得

a = ，b=1.

所求拋物線的解析式為.…………………3分

(2)由于點E在正方形的對角線OB上,又在拋物線上,

設(shè)點E的坐標(biāo)為(m,m)(),則.  

解得 (舍去).………4分

所以O(shè)E=.………………………5分

所以.

所以O(shè)E=EG. ……………………………………6分

(3)設(shè)點H的坐標(biāo)為(p,q)(,),

由于點H在拋物線上,

所以,即.

因為,…8分

所以O(shè)H=2–q.

所以O(shè)K=OH=2–q.

所以CK=2－(2－q)=q=IH.         ……………………………………9分

因為CJ=OI, ∠OIH=∠JCK=90º,

所以△OHI≌△JKC.…………………………10分