Question

20．如圖①，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點，F為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．
（1）求證：DM=DA；
（2）如圖②，點G在BE上，且∠BDG=∠C．求證：△DEG∽△ECF；
（3）在（2）的條件下，已知EF=2，CE=3，求GE的長．

Answer 1

分析 （1）根據平行線的性質得到∠AMD=∠AFE，等量代換得到∠AMD=∠A，根據等腰三角形的判定定理證明即可；
（2）根據三角形中位線定理得到DE∥AC，根據題意證明∠GDE=∠FEC，根據相似三角形的判定定理證明；
（3）證明△BDG∽△BED，得到BD²=BE•BG，根據平行四邊形的性質和題意求出BD=2，根據相似三角形的性質計算即可．

解答 （1）證明：∵DM∥EF，
∴∠AMD=∠AFE，
∵∠AFE=∠A，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA；
（2）證明：∵D、E分別是AB、BC的中點，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE=∠FEC，又∠DEB=∠C，
∴△DEG∽△ECF；
（3）解：∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BG}{BD}$，即BD²=BE•BG，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四邊形DEFM是平行四邊形，
∴EF=DM，
又∵DM=AD，AD=BD，
∴EF=BD=2，
∵BE=CE，EF=2，CE=3，
∴2²=3•BG，
∴BG=$\frac{4}{3}$，
∴GE=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質以及三角形中位線定理，掌握相似三角形的對應邊的比相等、三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．