Question

如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN中點(diǎn)，Q是CM中點(diǎn)．求證：△BPQ是正三角形．

Answer 1

分析：根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB=MB，BC=BN，每一個(gè)角都是60°可得∠ABM=∠CBN=60°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠ABN=∠MBC，然后利用“邊角邊”證明△ABN和△MBC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ANB=∠MCB，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=CM，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出NP=CQ，然后利用“邊角邊”證明△BNP和△BCQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PB=QB，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠PBN=∠CBQ，然后求出∠PBQ=60°，再根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可．

解答：證明：∵△ABM和△BCN是正三角形，
∴AB=MB，∠ABM=∠CBN=60°，
∴∠ABN=∠MBC，
在△ABN和△MBC中，

AB=MB ∠ABM=∠CBN=60° BC=BN

，
∴△ABN≌△MBC（SAS），
∴∠ANB=∠MCB，AN=CM，
∵P是AN中點(diǎn)，Q是CM中點(diǎn)，
∴NP=CQ，
在△BNP和△BCQ中，

BC=BN ∠ANB=∠MCB NP=CQ

，
∴△BNP≌△BCQ（SAS），
∴PB=QB，∠PBN=∠CBQ，
∴∠PBN+∠NBQ=∠CBQ+∠NBQ=∠CBN=60°，
∴△BPQ是正三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形比較復(fù)雜，難點(diǎn)在于兩次證明三角形全等．