Question

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），∠BOA=45°，OA=OB，若拋物線y=

1

2

x²+k與△OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的k值，即為一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的最大值，再求出拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)的k的值，即為一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．

解答：解：由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯(lián)立

y=x y= 1 2 x2+k

，
消掉y得，
x²-2x+2k=0，
△=b²-4ac=（-2）²-4×1×2k=0，
即k=

1

2

時(shí)，拋物線與OA有一個(gè)交點(diǎn)，
此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
∴OA=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

2

，

2

），
∴交點(diǎn)在線段AO上；
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，0）時(shí)，

1

2

×4+k=0，
解得k=-2，
∴要使拋物線y=

1

2

x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是-2＜k＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法，根據(jù)圖形求出有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．