Question

13．如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF，設正方形的中心為O，連結(jié)AO，如果AB=2，AO=3$\sqrt{2}$，則tan∠AOB的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 在AC上截取CG=AB=2，連接OG，根據(jù)B、A、O、C四點共圓，推出∠ABO=∠ACO，證△BAO≌△CGO，推出OA=OG=3$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根據(jù)勾股定理求出AC，即可求出tan∠AOB的值．

解答 解：在AC上截取CG=AB=2，連接OG，
∵四邊形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，∠OBC=45°，
∴B、A、O、C四點共圓，
∴∠ABO=∠ACO，∠AOB=∠ACB，∠OAG=∠OBC=45°，
∵在△BAO和△CGO中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=CG}&{\;}\\{∠ABO=∠ACO}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OA=OG=3$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=6，
即AC=6+2=8，
∴tan∠AOB=tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$；
故選：C．

點評 本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，四點共圓，圓周角定理，三角函數(shù)等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵．