Question

16．如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax²+bx+5與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C．直線y=x+2經過點A，交拋物線于點D，AD交y軸于點E，連接CD，CD∥x軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過點A的直線交拋物線第四象限于點F，若tan∠BAF=$\frac{1}{2}$，求點F的坐標；
（3）在（2）的條件下，P為直線AF上方拋物線上一點，過點P作PH⊥AF，垂足為H，若HE=PE，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據平行于x軸的直線上點的縱坐標相等，可得D點的縱坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據正切函數值，可得關于t的方程，根據解方程，可得t的值，根據第四項限內點的橫坐標大于零，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；
（3）根據待定系數法，可得AF的解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得E點坐標，根據等腰三角形的判定與性質，可得E點是PQ的中點，根據中點的坐標，可得Q點坐標，根據Q點的坐標滿足函數解析式，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．

解答 解：（1）拋物線y=ax²+bx+5與y軸交與C，當x=0時，y=5，即C（0，5）；
∵CD∥x軸，
∴D點的縱坐標為5，當y=5時，x+=2=5，解得x=3，D（3，5），
當y=0時，x=-2，A（-2，0）．
拋物線A（-2，0），D（3，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（-2）^{2}+b（-2）+5=0}\\{5=a×{3}^{2}+3b+5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5；
（2）設F（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+5），過F作FG⊥x軸于點G，則G（t，0），由∠BAF=$\frac{FG}{AG}$=$\frac{1}{2}$，得
AG=2FG．t-（-2）=2×[0-（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+5）]，
化簡，得t²-4t-12=0，
解得t₁=-2，t₂=6，
∵F在第四象限，t＞0，t=-2（舍），t=6，即F（6，-4）；
（3）∵A（-2，0），F（6，-4），設直線AF解析式y(tǒng)=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{-4=6k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
AF的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1；
∵y=x+2交y軸于E點，當x=0時，y═2，即E點坐標為（0，2）；
設直線PE交AF于點Q，∵HE=PE，
∴∠EHP=∠EPH，
∵PH⊥AF于H，
∴∠PHA=90°．
∴∠PQH+∠EHQ=90°，
∴EQ=EH．
∵HE=PE，
∴EQ=EP，即E為PQ中點．
設P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+5），∵E（0，2），
∴Q（-m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-1）．
∵Q在直線AF上，∴$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-1=-$\frac{1}{2}$（-m）-1，
整理，得m²=4m，解得m₁=0，m₂=4，當m₁=0時，P₁（0，5），
當m₂=4時，P₂（4，3），
綜上所述：P₁（0，5），P₂（4，3）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式；利用正切函數的出關于t的方程是解題關鍵；利用等腰三角形的判定與性質得出E點是PQ的中點是解題關鍵，又利用了圖象上的點滿足函數解析式．