Question

17．如圖（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°將∠MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止
（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點A時，PN也恰好過點D，此時，△ABP∽△PCD（填：“≌”或“～”
（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，$\frac{PE}{PF}$的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）拓展延伸：設(shè)AE=t，△EPF面積為S，試確定S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)S=4.2時，求所對應(yīng)的t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)找出∠B=∠C=90°，再通過角的計算得出∠BAP=∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；
（2）過點F作FH⊥PC于點H，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及角的計算找出∠B=∠FHP=90°、∠BEP=∠HPF，由此即可得出△BEP∽△HPF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找出邊與邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）分點E在AB和AD上兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊的長度，再利用分割圖形求面積法找出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，令S=4.2求出t值，此題得解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°．
∵∠MPN=90°，
∴∠BPA+∠CPD=90°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD．
故答案為：∽．
（2）是定值．如圖3，過點F作FH⊥PC于點H，
∵矩形ABCD中，AB=2，
∴∠B=∠FHP=90°，HF=AB=2，
∴∠BPE+∠BEP=90°．
∵∠MPN=90°，
∴∠BPE+∠HPE=90°，
∴∠BEP=∠HPF，
∴△BEP∽△HPF，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{BP}{HF}$，
∵BP=1，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{1}{2}$．
（3）分兩種情況：
①如圖3，當(dāng)點E在AB上時，0≤t≤2．
∵AE=t，AB=2，
∴BE=2-t．
由（2）可知：△BEP∽△HPE，
∴$\frac{BE}{HP}=\frac{PE}{PF}$，即$\frac{2-t}{HP}=\frac{1}{2}$，
∴HP=4-2t．
∵AF=BH=PB+BH=5-2t，
∴S=S_矩形ABHF-S_△AEF-S_△BEP-S_△PHF=AB•AF-$\frac{1}{2}$AE•AF-$\frac{1}{2}$BE•PB-$\frac{1}{2}$PH•FH=t²-4t+5（0≤t≤2）．
當(dāng)S=4.2時，t²-4t+5=4.2，
解得：t=2±$\frac{4}{5}\sqrt{5}$．
∵0≤t≤2，
∴t=2-$\frac{4}{5}\sqrt{5}$；
②如圖4，當(dāng)點E在AD上時，0≤t≤1，過點E作EK⊥BP于點K，
∵AE=t，BP=1，
∴PK=1-t．
同理可證：△PKE∽△FCP，
∴$\frac{PK}{FC}=\frac{PE}{PF}$，即$\frac{1-t}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴FC=2-2t．
∴DF=CD-FC=2t，DE=AD-AE=5-t，
∴S=S_矩形EKCD-S_△EKP-S_△EDF-S_△PCF=CD•DE-$\frac{1}{2}$EK•KP-$\frac{1}{2}$DE•DF-$\frac{1}{2}$PC•FC=t²-2t+5（0≤t≤1）．
當(dāng)S=4.2時，t²-2t+5=4.2，
解得：t=1±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵0≤t≤1，
∴t=1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述：當(dāng)點E在AB上時，S=t²-4t+5（0≤t≤2），當(dāng)S=4.2時，t=2-$\frac{4}{5}\sqrt{5}$；當(dāng)點E在AD上時，S=t²-2t+5（0≤t≤1），當(dāng)S=4.2時，t=1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握相似三角形的判定定理；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出$\frac{PE}{PF}=\frac{BP}{HF}$；（3）分點E在AB和AD上兩種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出邊與邊之間的關(guān)系是關(guān)鍵．