Question

在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：   

第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；

第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）.

 

（圖2）

（圖1）

（圖1）                    （圖2）                

請(qǐng)解答以下問題：

（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP ？

Answer 1

（1）△BMP是等邊三角形.    

 證明：連結(jié)AN  ∵EF垂直平分AB   ∴AN = BN

由折疊知 AB = BN

∴AN = AB = BN   ∴△ABN為等邊三角形  

∴∠ABN =60°  ∴∠PBN =30°            

又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =90°

∴∠BPN =60°∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°

∴∠BMP =60°

∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°

∴△BMP為等邊三角形 .  

（2）要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC ≥BP

在Rt△BNP中， BN = BA =a，∠PBN =30°

∴BP =    ∴b≥  ∴a≤b .

∴當(dāng)a≤b時(shí)，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP.