Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)角（0°<<90°）得△A₁BC_l，A₁B交AC于點(diǎn)E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn)。

（1）如圖①，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EA₁與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖②，當(dāng)=30°時，試判斷四邊形BC_lDA的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的情況下，求ED的長。

Answer 1

解：（1）猜想：EA₁=FC
證法一：∵AB=BC
∴∠A=∠C
由旋轉(zhuǎn)可知，AB=BC₁，∠A=∠C₁，∠ABE=∠C1BF
∴△AABE≌△ClBF（ASA）
∴BE=BF
又∵BA₁=BC
∴BA₁-BE=BC-BF
即EA₁=FC；
證法二：∵AB=BC
∴∠A=∠C
由旋轉(zhuǎn)可知，∠A₁=∠C，A₁B=CB，而∠EBC=∠FBA₁
∴△A₁BF≌△CBE（ASA）
∴BE=BF
∴BA_l-BE=BC-BF
即EA₁=FC。
（2）四邊形BC₁DA是菱形
證明：∵∠A₁=∠ABA₁=30°
∴A₁C₁∥AB
同理AC//BC₁
∴四邊形BC₁DA是平行四邊形
又∴AB=BC_l
∴四邊形BC₁DA是菱形；
（3）解法一：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G．則AG=BG=1

在RtAEG中，AE=
由（2）知四邊形BC_lDA是菱形
∴AD=AB=2
∴ED=AD-AE=2-；
法二：∵∠ABC=120°，∠ABE=30°
∴∠EBC=90°
在RtAEBC中，BE=BC·tanC=2×tan30°=
∴EA₁=BA₁-BE=
又易證A₁C₁∥AB
∴∠A₁DE=∠A
∴∠A₁DE=∠A₁
∴ED=EA_l=2-。