Question

已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個含有30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD．
（1）畫出四邊形ABCD；
（2）求出四邊形ABCD的對角線BD的長．

Answer 1

考點：勾股定理,等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：幾何綜合題,開放型

分析：（1）△ABC和△ACD的AC邊重合，可以分為2種情況，
①AC為30°角所對應(yīng)的直角邊；
②AC為斜邊；
③AC為60°角所對應(yīng)的直角邊．
（2）根據(jù)不同的圖形求出BD的長度．

解答：解：（1）四邊形ABCD分為2種情況，①AC為斜邊；②AC為60°角所對直角邊；③AC為30°角所對直角邊．

所以，共6種圖形．

（2）如圖，分別求BD的長度，
在圖1中，BD=

BC2+CD2

=

BC2+AC2+AD2

=

2

3

21

；
在圖2中，BD=

AB2+AD2

=

AB2+AC2+CD2

=

2

3

21

；
在圖3中，BD=

AB2+AD2

=

AB2+AC2-CD2

=

7

；
在圖4中，BD=

BC2+CD2

=

BC2+CA2- AD2

=

7

．
在圖5中，BD=

BC2+CD2-2BC•CD•cos120°

=2

7

；
在圖6中，BD=

BA2+AD2-2BA•AD•cos120°

=2

7

．
答：BD的長度為

7

或2

7

或

2

3

21

．

點評：本題考查的是等邊三角形和直角三角形的組合，找出BD所在的直角三角形根據(jù)勾股定理可以求解．分類討論．