Question

9．在梯形ABCD中，AD∥BC．AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點(diǎn)E、F分別在AD、DC上（點(diǎn)E與A、D不重合）；且∠BEF=120°，設(shè)AE=x，DF=y．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）求出 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，AB=DC，∠ABC=60°，由等腰梯形的性質(zhì)可得∠A=∠D，等量代換易得∠A=∠BEF，可得∠DEF=∠ABE，證得結(jié)論；
（2）由△ABE∽△DEF，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；
（3）利用配方法，將（2）中的函數(shù)關(guān)系式寫成頂點(diǎn)式，可求最大值．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，AB=DC，∠ABC=60°，
∴∠A=∠D，∠A=120°
∵∠BEF=120°，
∴∠A=∠BEF，
又∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，
在△AEB中，∠AEB+∠A+∠ABE=180°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AE}{DF}$，即$\frac{6}{6-x}$=$\frac{x}{y}$，
解得y=-$\frac{1}{6}$x²+x；

（3）解：∵y=-$\frac{1}{6}$x²+x=y=-$\frac{1}{6}$（x-3）²+$\frac{3}{2}$，且-$\frac{1}{6}$＜0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y_最大值=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)與二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出x、y的關(guān)系式．