Question

已知拋物線y=

1

2

x²-x+k與x軸有兩個交點．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點，且點A在點B的左側(cè)，點D是拋物線的頂點，如果△ABD是等腰直角三角形，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線與y軸交于點C，點E在y軸的正半軸上，且以A、O、E為頂點的三角形和以B、O、C為頂點的三角形相似，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）根據(jù)題意得：△=1-2k＞0，
∴k＜

1

2

，
∴k的取值范圍是k＜

1

2

．

（2）設(shè)A（x₁，0）、B（x₂，0），則x₁+x₂=2，x₁x₂=2k．
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

1-2k

，
由y=

1

2

x²-x+k=

1

2

（x-1）²+k-

1

2

得頂點D（1，k-

1

2

），
當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時得；|k-

1

2

|=2×

1

2

1-2k

，
解得k₁=-

3

2

，k₂=

1

2

，
∵k＜

1

2

，
∴k=

1

2

舍去，
∴所求拋物線的解析式是y=

1

2

x²-x-

3

2

．

（3）設(shè)E（0，y），則y＞0，
令y=0得

1

2

x²-x-

3

2

=0，
∴x₁=-1，x₂=3，∴A（-1，0）、B（3，0），令x=0得：y=-

3

2

，
∴C（0，-

3

2

），
（i）當(dāng)△AOE∽△BOC時得：

AO

BO

=

OE

OC

，∴

1

3

=

y

3 2

，解得y=

1

2

，
∴E₁（0，

1

2

）；
（ii）當(dāng)△AOE∽△COB時得：

AO

OC

=

OE

BO

，∴

1

3 2

=

y

3

，解得y=2，
∴E₂（0，2），
∴當(dāng)△AOE和△BOC相似時，E₁（0，

1

2

）或E₂（0，2）．