Question

在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A佀B佀C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DM交AC于點(diǎn)N.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在A(yíng)B邊上時(shí)，連接BN：
①求證：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求點(diǎn)M到AD的距離及tanα的值．
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為x（6≦x≦12）．試問(wèn)：x為何值時(shí)，△ADN為等腰三角形．

Answer 1

解：（1）①證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠1=∠2． 又∵AN=AN， ∴△ABN≌△ADN． ②作MH?DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°． 在Rt△AMH中，MH=AMsin60°=4?sin60°=2． ∴點(diǎn)M到AD的距離為2． ∴AH=2．?DH=6+2=8． 在Rt△DMH中，tan∠MDH=， 由①知，∠MDH=∠ABN=α，∴tanα=；
（2）∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=45°． 下面分三種情形： （Ⅰ）若ND=NA，則∠ADN=∠NAD=45°． 此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，得x=6； （Ⅱ）若DN=DA，則∠DNA=∠DAN=45°． 此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C重合，得x=12； （Ⅲ）若AN=AD=6，則∠1=∠2． ∵AD∥BC，∴∠1=∠4， 又∠2=∠3， ∴∠3=∠4．∴CM=CN． ∴AC=6． ∴CM=CN=AC﹣AN=6﹣6． 故x=12﹣CM=12﹣（6﹣6）=18﹣6． 綜上所述：當(dāng)x=6或12或18﹣6時(shí)，△ADN是等腰三角形．