Question

3．我們初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：平方差公式、完全平方公式．
【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法推證：1³+2³=3²？
【解決問題】
A表示1個1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一個（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=3²
【遞進探究】請仿用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：1³+2³+3³=6²．
要求：自己構(gòu)造圖形并寫出詳細的解題過程．
【推廣探究】請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．
（參考公式：$1+2+3+…+n=\frac{（1+n）n}{2}$）
注意：只需填空并畫出圖形即可，不必寫出解題過程．
【提煉運用】如圖，下列幾何體是由棱長為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，
如圖（1）中，共有1個小立方體，其中1個看的見，0個看不見；
如圖（2）中，共有8個小立方體，其中7個看的見，1個看不見；
如圖（3）中，共有27個小立方體，其中19個看的見，8個看不見；
求：從第（1）個圖到第（101）個圖中，一切看不見的棱長為1的小立方體的總個數(shù)．

Answer 1

分析 【遞進探究】如圖，A表示一個1×1的正方形，B、C、D表示2個2×2的正方形，E、F、G表示3個3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一個邊長為（1+2+3）的大正方形，根據(jù)大正方形面積的兩種表示方法，可以得出1³+2³+3³=6²；
【推廣探究】由上面表示幾何圖形的面積探究知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，進一步化簡即可．

解答 解：【遞進探究】
如圖，A表示一個1×1的正方形，即：1×1×1=1³，
B、C、D表示2個2×2的正方形，即：2×2×2=2³，
E、F、G表示3個3×3的正方形，即：3×3×3=3³，
而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一個大正方形，邊長為：1+2+3=6，
∵S_A+S_B+S_C+S_D+S_E+S_F+S_G=S_大正方形，
∴1³+2³+3³=6²；
【推廣探究】
由上面表示幾何圖形的面積探究知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
又∵1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴1³+2³+3³+…+n³=（$\frac{n（n+1）}{2}$）²=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．
【提煉運用】
圖（1）中，共有1個小立方體，其中1個看的見，0=（1-1）³個看不見；
如圖（2）中，共有8個小立方體，其中7個看的見，1=（2-1）³個看不見；
如圖（3）中，共有27個小立方體，其中19個看的見，8=（3-1）³個看不見；
…，
從第（1）個圖到第（101）個圖中，一切看不見的棱長為1的小立方體的總個數(shù)為：（1-1）³+（2-1）³+（3-1）³+…+（101-1）³=0³+1³+2³+…+100³=5050²=25502500．
故一切看不見的棱長為1的小立方體的總個數(shù)為25502500．
故答案為：6²；$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

點評 此題主要考查了立體圖形、平方差公式的證明，注意熟練掌握通過不同的方法計算同一個圖形的面積來證明一些公式的方法，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．