Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等腰三角形，OB=AB，∠OBA=120°，點B的坐標是（0，4），點A在第一象限．點R是x軸上的一個動點，連接BR，并把△BOR繞著點B按逆時針方向旋轉，使邊BO與BA重合，得到△BAQ．
（1）求點A的坐標；
（2）當點R運動到點（，0）時，求此時點Q的坐標；
（3）當點Q落在x軸上時，請直接寫出點R的坐標；
（4）是否存在點R，使△ORQ的面積等于？若存在，請求出所有符合條件的點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，過點A作AE⊥x軸于點E，作AF⊥y軸于點F，

則AF=AB•sin∠ABF=，
BF=AB•cos∠ABF=2，
∴AE=OF=4+2=6，
∴點A的坐標為（，6）．

（2）如圖2，

∵△BAQ由△BOR旋轉得到，∴△BAQ≌△BOR．
∴AQ=OR=，∠BAQ=∠BOR=90°．
過點Q作AE的垂線交EA的延長線于點H，交y軸于點N，
則∠BAE=60°，∠QAH=30°．
在Rt△AHQ中，AH=AQ•cos30°=1，QH=AQ•sin30°=．
∴QN=，HE=6+1=7．
∴點Q的坐標為（，7）．
（3）此時點R在x軸的負半軸，
∠OBQ=60°，則∠RBO=60°，
已知OB=4，
在Rt△OBR中：OR=4，
∴點R（，0）．
（4）假設存在點R，在它的運動過程中，使△ORQ的面積等于．設點R的坐標為（t，0），下面分三種情況討論．
①當t＞0時，如圖3，

AQ=OR=t，AH=，HE=，

∴

解得，（舍去）．

②當時，如圖4，

AQ=OR=-t，AH=，HE=．
∴
解得，．
③當時，如圖5，

AQ=OR=-t，AH=，HE=．
∴
解得（舍去），．
∴符合條件的點R的坐標為（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
分析：（1）過A點作x軸、y軸的垂線AE、AF，解直角三角形求AE、AF即可．
（2）過點Q作AE的垂線交EA的延長線于點H，交y軸于點N．依題意得∠BAE=60°，∠QAH=30°．解Rt△AHQ得AH、QH，再利用A點的坐標求QN，HE，即為Q點的橫、縱坐標；
（3）此時點R在x軸的負半軸，∠OBQ=60°，則∠RBO=60°，已知OB=4，解Rt△OBR可求OR，再表示R點的坐標；
（4）設點R的坐標為（t，0），根據t＞0，-4≤t≤0，t＜-4，分別求解．
點評：本題考查了坐標系中點的坐標的求解方法，綜合運用了解直角三角形的知識．