Question

4．已知二次函數(shù)y=-x²-x+2的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（如圖所示），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是其對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PC取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 先求出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出直線AC的解析式，最后求出直線AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為所求．

解答 解：當(dāng)y=0時(shí)，0=x²-x-2，
解得：x₁=-2，x₂=1
∴A（-2，0），B（1，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴C（0，2）
∴對(duì)稱(chēng)軸為：x=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)點(diǎn)P是其對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，PB+PC取得最小值時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，直線AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求，
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，根據(jù)題意得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=x+2，
它與x=-$\frac{1}{2}$交于點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
∴P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)和待定系數(shù)法以及線段和最小值問(wèn)題，建立模型解決最小值問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．