Question

已知拋物線OPE與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)O、點(diǎn)E且OE=4，點(diǎn)A是拋物線OPE的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、E重合），作AB⊥X軸于點(diǎn)B，線段AB的最大值是PM=4．
（1）求拋物線OPE的解析式．
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，圖中的矩形ABCD是正方形？并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（3）是否在此拋物線上存在點(diǎn)A使得△ABO與△PMO相似？若存在，請求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出點(diǎn)O，E，P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）設(shè)當(dāng)A的坐標(biāo)為（x，-x²+4x）時(shí)，矩形ABCD是正方形，利用正方形的邊長相等求解．
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠BAO=∠MPO時(shí)，△ABO與△PMO相似；②當(dāng)∠AOB=∠MPO時(shí)，△ABO與△PMO相似；利用比例式求解．

解答：解：∵拋物線OPE與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)O、點(diǎn)E且OE=4，
∴O（0，0），E（4，0），
∵AB⊥X軸于點(diǎn)B，線段AB的最大值是PM=4．
∴P（2，4），
∵拋物線OPE過原點(diǎn)，設(shè)它的解析式為y=ax²+bx，
把E（4，0），P（2，4），代入y=ax²+bx，得

16a+4b=0 4a+2b=4

解得

a=-1 b=4

．
∴拋物線OPE的解析式為y=-x²+4x．
（2）設(shè)當(dāng)A的坐標(biāo)為（x，-x²+4x）時(shí)，矩形ABCD是正方形，
∵OM=2，
∴BM=2-x，
BC=2BM=2（2-x）=4-2x，
∵AB=-x²+4x，
∴-x²+4x=4-2x，解得x=3-

5

或x=3+

5

（舍去）．
∴-x²+4x=2

5

-2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（3-

5

，2

5

-2），
（3）存在．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，-x²+4x）時(shí)，△ABO與△PMO相似，
①當(dāng)∠BAO=∠MPO時(shí)，
∵

AB

PM

=

OB

OM

，
∴

-x2+4x

4

=

x

2

，
解得x=2或x=0（舍去），
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）時(shí)，即與點(diǎn)P重合，
②當(dāng)∠AOB=∠MPO時(shí)，
∵

OB

PM

=

AB

OM

，
即

x

4

=

-x2+4x

2

，解得x=

7

2

或x=0（舍去）
∴-x²+4x=

7

4

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（

7

2

，

7

4

），
綜上所述當(dāng)A的坐標(biāo)為（2，4）或（

7

2

，

7

4

）時(shí)，△ABO與△PMO相似．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，涉及三角形相似，二次函數(shù)解析式及正方形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形相似列出方程．