Question

14．如圖，三角形紙片ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．將紙片折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D處，折痕與BC，AB分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）設(shè)BE=x，DC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)△ADF是直角三角形時(shí)，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理即可得出y²+（3-x）²=x²，從而得出y=$\sqrt{6x-9}$，由于當(dāng)E和C重合時(shí)，x最大，最大值為3，6x-9≥0，即可求得x的取值；
（2）分兩種情況分別討論即可求得．

解答 解：（1）∵BE=x，
∴DE=x，EC=3-x，
在RT△DEC中，DC²+EC²=DE²，即y²+（3-x）²=x²，
∴y=$\sqrt{6x-9}$，
當(dāng)E和C重合時(shí)，x最大，最大值為3，
∴$\frac{3}{2}$≤x≤3；

（2）分兩種情況：
①如圖1，當(dāng)∠ADF=90°時(shí)，則FD∥BC，
∴∠AFD=∠B，
∵∠EDF=∠B，
∴∠AFD=∠EDF，
∴DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{BC}$，即$5\frac{x}{\;}$=$\frac{3-x}{3}$，
解得x=$\frac{15}{8}$，
∴BE=$\frac{15}{8}$
②如圖2，當(dāng)∠AFD=90°時(shí)，作EH⊥AB于H，則△BEH∽△BAC，
∵BE=x，
∴BH=$\frac{3}{5}$x，HE=$\frac{4}{5}$x，
∵∠BFE=45°，
∴HF=HE=$\frac{4}{5}$x，
∴BF=DF=$\frac{7}{5}$x，
∴AF=5-$\frac{7}{5}$x，
∵△ADF∽△ABC，
∴$\frac{\frac{7}{5}x}{5-\frac{7}{5}x}$=$\frac{3}{4}$，
解得x=$\frac{75}{49}$，即BE=$\frac{75}{49}$，
∴由①②得，BE=$\frac{15}{8}$或$\frac{75}{49}$．

點(diǎn)評 該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理等幾何知識點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．