Question

19．如圖，點O是?ABCD對角線AC的中點，過點O的直線ME、NF交邊于M、E、N、F，求證：MN$\stackrel{∥}{=}$EF．

Answer 1

分析 先證明△AOF≌△CON（ASA），得出AE=CN，同理得出AM=CE，再證明△AMF≌△CEN，得出對應邊相等MF=EN，同理得出MN=EF，證出四邊形MNEF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠OAF=∠OCN，
∵O是AC的中點，
∴OA=OC，
在△AOF和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠CON}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠OAF=∠OCN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△CON（ASA），
∴AE=CN，
同理：AM=CE，
在△AMF和△CEN中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CN}&{\;}\\{∠MAF=∠ECN}&{\;}\\{AM=CE}&{\;}\end{array}\right.$
∴△AMF≌△CEN（SAS），
∴MF=EN，
同理：MN=EF，
∴四邊形MNEF是平行四邊形，
∴MN∥EF，MN=EF．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，通過證明三角形全等得出對應邊相等證明平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．