Question

如圖，△ABC的三邊長BC=a，CA=b，AB=c，a、b、c都是整數(shù)，且a、b的最大公約數(shù)為2．點G和點I分別為△ABC的重心和內(nèi)心，且∠GIC=90°．求△ABC的周長．

Answer 1

考點：三角形的五心

專題：

分析：延長GI分別交BC于點P，AC于點Q，首先證明△CPQ為等腰三角形，根據(jù)內(nèi)心和重心的知識分別表示出△PCQ的面積，進(jìn)而求出a，b，c之間的等量關(guān)系式，最后對a，b，c進(jìn)行討論，進(jìn)而求出a，b和c的值．

解答：解：延長GI分別交BC于點P，AC于點Q，
∵∠GIC=90°，
∴GI⊥CI，I是內(nèi)心，
∴△CPQ為等腰三角形，
∴PC=QC，
∴S_△PCQ=2S_△CQI=r×CQ（r為三角形ABC內(nèi)切圓半徑）
∴S_△PCQ=S_△PGC+S_△CGQ，
=

1

2

PC•ha（ha為GE⊥BC的高）+

1

2

CQ•hb（hb為GF⊥AC的高）
=

1

2

CQ（ha+hb）=r×CQ
∴2r=ha+hb①
∵r=

2S△ABC

a+b+c

②
∵S_△ABC=

1

2

×a•ha'（ha'為AM⊥BC的高）=

3

2

×a•ha，
∴ha=

2S△ABC

3a

，hb=

2S△ABC

3b

，
∴ha+hb=

2S△ABC

3a

+

2S△ABC

3b

③
把②③代入①得

6

a+b+c

=

a+b

ab

，
當(dāng)a=2，b=2時，c=2，
∵△ABC為等邊三角形，
∴GI重合，舍去，
∴a≠b，
設(shè)a＞b，a=2m，b=2n，
∵a、b的最大公約數(shù)為2，
∴（m，n）=1，
∴m+n整除12，
即m=7，n=5，
∴a=14，b=10，c=11，
∴a+b+c=35．

點評：本題主要考查了三角形五心的知識點，解答本題的關(guān)鍵是要熟練掌握內(nèi)心和重心的定義以及三角形面積與內(nèi)切圓半徑和三邊長的關(guān)系式，此題有一定的難度．