Question

15．關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+k+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果x₁+x₂-x₁x₂＜4，且k為整數(shù)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足△=b²-4ac≥0，從而求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=-2，x₁x₂=k+1．再代入不等式x₁+x₂-x₁x₂＜4，即可求得k的取值范圍，然后根據(jù)k為整數(shù)，求出k的值．

解答 解：（1）∵方程有實(shí)數(shù)根，
∴△=（-2）²-4（k+1）＞0，
解得k＜0．
故K的取值范圍是k＜0．

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=2，x₁x₂=k+1，
x₁+x₂-x₁x₂=2-（k+1）．
由已知，得2-（k+1）＜4，解得k＞-3．
又由（1）k＜0，
∴-3＜k＜0．
∵k為整數(shù)，
∴k的值為-2和-1．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．在運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，一定要注意其前提是此方程的判別式△＞0．