Question

如圖，矩形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，B點的坐標為（1，3），
矩形O'A'BC'是矩形OABC繞B點逆時針旋轉得到的，O'點恰好在x軸的正半軸上，O'C'交AB于點D。
（1）求點O'的坐標，并判斷△O'DB的形狀（要說明理由）；
（2）求邊C'O'所在直線的解析式；
（3）延長BA到M使AM=1，在（2）中求得的直線上是否存在點P，使得ΔPOM是以線段OM為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）如圖，連接OB，O′B，則OB=O′B， ∵四邊形OABC是矩形， ∴BA⊥OA， ∴AO=AO′， ∵B點的坐標為（1，3）， ∴OA=1， ∴AO′=1， ∴點O′的坐標是（2，0），△O′DB為等腰三角形， 理由如下：在△BC′D與△O′AD中， ，∴△BC′D≌△O′AD（AAS）， ∴BD=O′D， ∴△O′DB是等腰三角形； （2）設點D的坐標為（1，a），則AD=a， ∵點B的坐標是（1，3）， ∴O′D=3-a， 在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2， ∴a2+12=（3-a）2，解得a=， ∴點D的坐標為（1，）， 設直線C′O′的解析式為y=kx+b， 則， 解得， ∴邊C′O′所在直線的解析式：； （3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO， ∴△AOM是等腰直角三角形， ①PM是另一直角邊時，∠PMA=45°， ∴PA=AM=1，點P與點O′重合， ∴點P的坐標是（2，0）， ②PO是另一直角邊，∠POA=45°， 則PO所在的直線為y=x， ∴， 解得， ∴點P的坐標為P（2，0）或（）。