Question

1．已知CD為Rt△ABC斜邊AB上的高，以CD為直徑的圓交BC于E點，交AC于F點，G為BD的中點．
（1）求證：GE為⊙O的切線；
（2）若tanB=$\frac{1}{2}$，GE=5，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連DE、OE，利用圓周角定理可得∠CED=∠BED=90°，因為G為BD的中點，由直角三角形的性質(zhì)可得GE=GD，再由OE=OD，易得∠OED=∠ODE，可得∠GEO=∠GDO，由CD⊥AB，可得∠GEO=∠GDO=90°，可得結(jié)論；
（2）首先由垂直的定義易得∠B=∠ACD，利用銳角三角函數(shù)可得tanB=$\frac{1}{2}$=$\frac{CD}{BD}$=tan∠DCA=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，易得BD=4AD，可得結(jié)果．

解答 （1）證明：連DE、OE，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CED=∠BED=90°，
∵G為BD的中點，
∴GE=GD，
∴GED=∠GDE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠GEO=∠GDO，
∴CD⊥AB，
∴∠GEO=∠GDO=90°，
∴GE為⊙O的切線；

（2）∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°-∠A，
∵∠BCA=90°，
∴∠B=90°-∠A，
∴∠B=∠ACD，
∵tanB=$\frac{1}{2}$=$\frac{CD}{BD}$=tan∠DCA=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=4AD，
∵EG=5，
∴BD=10，AD=$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查了切線的判定及銳角三角函數(shù)等，作出恰當?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．