Question

如圖，拋物線關(guān)于直線對稱，與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點，且AB=4，點D在拋物線上，直線是一次函數(shù)的圖象，點O是坐標(biāo)原點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線平分四邊形OBDC的面積，求k的值.

（3）把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線與直線交于M、N兩點，問在y軸正半軸上是否存在一定點P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對稱？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）存在一點P（0，2），使直線PM與PN總是關(guān)于y軸對稱

【解析】解：（1）∵拋物線關(guān)于直線x=1對稱，AB=4，∴A(－1，0)，B(3，0) 。

∴可設(shè)拋物線的解析式為。

∵點D在拋物線上，∴，解得。

∴拋物線的解析式為，即。

（2）由（1）知，令x=0，得C(0, )，

∴CD//AB。

令，得l與CD的交點F()，

令，得l與x軸的交點E()，

由S_{四邊形OEFC}=S_{四邊形EBDF}得：OE+CF=DF+BE，

即：，解得。

∴當(dāng)時，直線平分四邊形OBDC的面積。

（3）∵，

∴把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為。

假設(shè)在y軸上存在一點P(0，t)，t＞0，使直線PM與PN關(guān)于y軸對稱，過點M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN_1，垂足分別為M₁、N₁，

∵∠MPO=∠NPO，∴Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁。

∴    ①。

不妨設(shè)M(x_M,y_M)在點N(x_N,y_N)的左側(cè)，

因為P點在y軸正半軸上，則①式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2013080912513937816100/SYS201308091252389729982877_DA.files/image021.png">。

又∵，

∴    ②。

把代入中，整理得。

∴，代入②得，解得t=2，符合條件。

∴在y軸上存在一點P（0，2），使直線PM與PN總是關(guān)于y軸對稱。

（1）由已知求出點A，B的坐標(biāo)，設(shè)出交點式，將點D 的坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式。

（2）如圖，將S_{四邊形OEFC}和S_{四邊形EBDF}用k表示，根據(jù)S_{四邊形OEFC}=S_{四邊形EBDF}列方程求解即可。

（3）求出平移后的拋物線解析式，假設(shè)在y軸上存在一點P(0，t)，t＞0，使直線PM與PN關(guān)于y軸對稱，過點M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN_1，垂足分別為M₁、N₁，不妨設(shè)M(x_M,y_M)在點N(x_N,y_N)的左側(cè)，由Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁得，即。把代入中，整理得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得代入，即可求得t=2。