Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，長方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上．點B的坐標為（8，4），將該長方形沿OB翻折，點A的對應點為點D，OD與BC交于點E．

（I）證明：EO=EB；

（Ⅱ）點P是直線OB上的任意一點，且△OPC是等腰三角形，求滿足條件的點P的坐標；

（Ⅲ）點M是OB上任意一點，點N是OA上任意一點，若存在這樣的點M、N，使得AM+MN最小，請直接寫出這個最小值．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）P的坐標為（4，2）或（，）或P（﹣，﹣）或（，）；（Ⅲ）．

【解析】分析：（Ⅰ）由折疊得到∠DOB=∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB，即∠OBC=∠DOB，即可；

（Ⅱ）設出點P坐標，分三種情況討論計算即可；

（Ⅲ）根據(jù)題意判斷出過點D作OA的垂線交OB于M，OA于N，求出DN即可．

詳解：（Ⅰ）∵將該長方形沿OB翻折，點A的對應點為點D，OD與BC交于點E，

∴∠DOB=∠AOB，

∵BC∥OA，

∴∠OBC=∠AOB，

∴∠OBC=∠DOB，

∴EO=EB；

（Ⅱ）∵點B的坐標為（8，4），

∴直線OB解析式為y=x，

∵點P是直線OB上的任意一點，

∴設P（a，a）．

∵O（0，0），C（0，4），

∴OC=4，PO2=a2+（a）2=a2，PC2=a2+（4-a）2．

當△OPC是等腰三角形時，可分三種情況進行討論：

①如果PO=PC，那么PO2=PC2，

則a2=a2+（4-a）2，解得a=4，即P（4，2）；

②如果PO=OC，那么PO2=OC2，

則a2=16，解得a=±，即P（，）或P（-，-）；

③如果PC=OC時，那么PC2=OC2，

則a2+（4-a）2=16，解得a=0（舍），或a=，即P（，）；

故滿足條件的點P的坐標為（4，2）或（，）或P（-，-）或（，）；

（Ⅲ）如圖，過點D作OA的垂線交OB于M，交OA于N，

此時的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．

由（1）有，EO=EB，

∵長方形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為（8，4），

設OE=x，則DE=8-x，

在Rt△BDE中，BD=4，根據(jù)勾股定理得，DB2+DE2=BE2，

∴16+（8-x）2=x2，

∴x=5，

∴BE=5，

∴CE=3，

∴DE=3，BE=5，BD=4，

∵S△BDE=DE×BD=BE×DG，

∴DG=，

由題意有，GN=OC=4，

∴DN=DG+GN=+4=．

即：AM+MN的最小值為．