Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對稱軸．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）若過點A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．

（3）點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），

∴假設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），

將D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：

3=3a，∴a=1，

∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x²﹣4x+3；

（2）∵過點A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，

∴AC×BC=6，

∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點，

∴二次函數(shù)對稱軸為x=2，

∴AC=3，

∴BC=4，

∴B點坐標(biāo)為：（2，4），

一次函數(shù)解析式為；y=kx+b，

∴，解得：，

y=x+；

（3）∵當(dāng)點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，

∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，

∵AC=1+2=3，BC=4，

∴AB=5，AM=3，

∴BM=2，

∵∠MBP=∠ABC，

∠BMP=∠ACB，

∴△ABC∽△CBM，

∴，

∴，

∴PC=1.5，

P點坐標(biāo)為：（2，1.5）．