Question

(1)如圖(1)，正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果(不必寫計(jì)算過程)；

(2)將圖(1)中的正方形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖(2)，求HD∶GC∶EB；

(3)把圖(2)中的正方形都換成矩形，如圖(3)，且已知DA∶AB＝HA∶AE＝m∶n，此時(shí)HD∶GC∶EB的值與(2)小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果(不必寫計(jì)算過程)．

Answer 1

答案：
解析：

分析．(1)首先連接AG，由正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，易證得∠GAE＝∠CAB＝45°，AE＝AH，AB＝AD，即A，G，C共線，繼而可得HD＝BE，GC＝BE，即可求得HD∶GC∶EB的值； 　　(2)連接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì)，即可求得HD：GC：EB的值； 　　(3)由矩形AEGH的頂點(diǎn)E、H在矩形ABCD的邊上，由DA∶AB＝HA∶AE＝m∶n，易證得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與勾股定理即可求得HD∶GC∶EB的值． 　　解答．解：(1)連接AG， 　　∵正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上， 　　∴∠GAE＝∠CAB＝45°，AE＝AH，AB＝AD， 　　∴A，G，C共線，AB－AE＝AD－AH， 　　∴HD＝BE， 　　∵AG＝＝AE，AC＝＝AB， 　　∴GC＝AC－AG＝AB－AE＝(AB－AE)＝BE， 　　∴HD∶GC∶EB＝1∶∶1(3分) 　　(2)連接AG、AC， 　　∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形， 　　∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶，∠DAC＝∠HAG＝45°， 　　∴∠DAH＝∠CAG，(4分) 　　∴△DAH∽△CAG， 　　∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶，(5分) 　　∵∠DAB＝∠HAE＝90°， 　　∴∠DAH＝∠BAE， 　　在△DAH和△BAE中， 　　， 　　∴△DAH≌△BAE(SAS)， 　　∴HD＝EB， 　　∴HD∶GC∶EB＝1∶∶1；(6分) 　　(3)有變化， 　　連接AG、AC， 　　∵矩形AEGH的頂點(diǎn)E、H在矩形ABCD的邊上，DA∶AB＝HA∶AE＝m∶n， 　　∴∠ADC＝∠AHG＝90°， 　　∴△ADC∽△AHG， 　　∴AD∶AC＝AH∶AG＝m∶，∠DAC＝∠HAG， 　　∴∠DAH＝∠CAG，(4分) 　　∴△DAH∽△CAG， 　　∴HD∶GC＝AD∶AC＝m∶，(5分) 　　∵∠DAB＝∠HAE＝90°， 　　∴∠DAH＝∠BAE， 　　∵DA∶AB＝HA∶AE＝m∶n， 　　∴△ADH∽△ABE， 　　∴DH∶BE＝AD∶AB＝m∶n， 　　∴HD∶GC∶EB＝m∶∶n．(8分) 　　點(diǎn)評(píng)．此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

提示：

考點(diǎn)．相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．