Question

13．己知，如圖（1），在矩形OABC中，OA=12，OC=9，以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．Rt△DEF中，點D與點O重合．∠DEF=90°，DF=$\frac{25}{4}$，DE=5，∠AOB=∠FOE．
（1）填空：直線OB的解折式為：y=$\frac{4}{3}$x；圖（1）點E的坐標是（3，-4）；
（2）如圖（2），若將△DEF沿著射線OB方向平移，設平移的距離為k，當點E恰好平移到線段OC上時，求平移的距離k的值．
（3）在（2）問情況下，即當點E平移到線段OC上時，是否存在直線OB上的點M和線段BC上的點N，使以D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點B的坐標，用待定系數法求出直線解析式；利用勾股定理和三角形的面積求出DG，EG；
（2）先判斷時，點C在x軸上時，點G也在x軸上，得出點D的坐標，從而求出OD，即可；
（3）按DE為邊和對角線分兩種情況討論計算．

解答 解：（1）∵在矩形OABC中，OA=12，OC=9，
∴B（9，12），
∴直線OB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
如圖（1），

過點E作EG⊥DF，
∵Rt△DEF中，點D與點O重合．∠DEF=90°，DF=$\frac{25}{4}$，DE=5，
∴EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴EG=$\frac{DE×EF}{DF}$=3，
∴DG=$\sqrt{D{E}^{2}-E{G}^{2}}$=4，
∴E（3，-4），
故答案為：y=$\frac{4}{3}$x，（3，-4）
（2）如圖（2），

當點E恰好平移到線段OC上時，即：點G也落在x軸上，
∴DG'=DG=4，
∴點D的縱坐標為4，
∵點D在直線OB上，
∴4=$\frac{4}{3}$x，
∴x=3，
∴D（3，4）；
∴OG'=3，DG'=4，
∴根據勾股定理得，OD=5．
∴平移的距離k的值為5．
（3）由（2）知，D（3，4），EG'=EG=3，
∴E（7，0），
∵以D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴①當DE為邊時，即DE∥MN，DE=MN，
∵D（3，4），E（7，0），
∴直線DE解析式為y=-x+7，DE=3$\sqrt{2}$，
設直線MN的解析式為y=-x+b，（0≤b≤21），
∵點N在邊BC上，
∴N（9，b-9），
∵M在直線OB上，
∴M（$\frac{3}{7}$b，$\frac{4}{7}$b），
∴MN=$\sqrt{（9-\frac{3}{7}b）^{2}+（b-9-\frac{4}{7}b）^{2}}$
∵DE=MN，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{（9-\frac{3}{7}b）^{2}+（b-9-\frac{4}{7}b）^{2}}$
∴b=$\frac{42}{3}$或b=28（舍），
∴直線MN的解析式為y=-x+$\frac{42}{3}$，
∵點M在直線OB：y=$\frac{4}{3}$x，
∴M（6，8）．
當DE為對角線時，DE與MN互相平分，
∵D（3，4），E（7，0），
∴線段DE的中點坐標為（5，2）
∵點N在邊BC上，點M在直線OB上，
設點N（9，n），M（m，$\frac{4}{3}$m），（0≤n≤12）
∴9+m=10，$\frac{4}{3}$m+n=4，
∴m=1，n=$\frac{8}{3}$，
∴M（1，$\frac{4}{3}$）．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了待定系數法，勾股定理，平行四邊形的性質，平移的性質，解本題的關鍵是確定出點D的坐標，求點M的坐標是解本題的難點．